Leonor Varas, investigadora del Centro de Modelamiento matemático de la Universidad de Chile:

“El pensamiento deductivo fue expulsado de las aulas hace tiempo”

No todo está mal en educación. A principios de octubre, Leonor Varas, junto a su ayudante de investigación, Valentina Giaconi, presentaron un estudio sobre la calidad de los textos escolares chilenos de matemáticas y detectaron que los contenidos han mejorando sustancialmente desde que en 1997 otros investigadores titularan un estudio similar como “El futuro está en riesgo”. Ahora los libros tienen instrucciones claras y los ejemplos que se usan apuntan a situaciones cotidianas, de manera que los niños puedan incorporar las matemáticas en la vida diaria. Por supuesto falta. Y lo que más falta es deducción y razonamiento. Las investigadoras recomiendan que las familias que quieran ayudar a sus hijos no se centren sólo en señalar los errores (“de los errores se aprende mucho”, nos recuerdan) sino que traten de explicar el por qué de las cosas, junto con incentivarlos a hacer ellos esto mismo. No importa solo el resultado sino el camino que se siguió. Acostumbrase a razonar, a encontrar los porqué de las cosas, es uno de los grandes aportes que hacen las matemáticas a todos los niños, independientemente de cuál sea su actividad en el futuro.

*Para ver el estudio haga click aquí


Por Pía Torres L.

¿Cree que más horas de matemáticas pueden producir un cambio sustantivo en la preparación de los alumnos?

Leonor Varas (LV): Lenguaje y matemática tienen un rol muy importante en el desarrollo del pensamiento y su mayor presencia en el currículo escolar está justificada. Sin embargo, el puro y simple aumento de las horas de clases no es suficiente para que produzcan los resultados esperados. Para que esas horas sean productivas se requiere mucho más trabajo y entender bien por qué no estamos obteniendo buenos resultados, a pesar de todos los esfuerzos realizados, ya por bastante tiempo. Y creo que eso no lo sabemos o no lo sabemos con claridad y fundamentos suficientes.

Para sustentar este aumento de horas se ha usado como ejemplo a Finlandia que obtienen muy buenos resultados en matemáticas a nivel mundial. Usted visitó ese país viendo como enseñan matemáticas. ¿Tienen muchas horas de estudio?
LV: En Finlandia tienen mucho menos clases que Chile de todos los ramos y en particular de matemáticas. A la semana tienen 3 ó 4 horas (depende del nivel escolar) de 45 minutos. Pero hay que tener en cuenta que las escuelas en Finlandia son fascinantes; tienen espacios como el living de una casa acogedora, con lugares para ver películas, hacer música, leer, hacer marionetas, teatro. Los niños lo pasan súper bien y no se estresan con tareas pesadas. Lamentablemente, no se puede extrapolar nada de ello para Chile porque aquí, menos horas de clases no significarían más horas para el desarrollo artístico, creativo, social, o mejor dicho "integral" de los niños.

¿Cómo logran buenos resultados con menos horas de clases?
LV: Su metodología es distinta. Los finlandeses aprenden a resolver problemas cotidianos y a usar sus conocimientos matemáticos en la vida diaria de manera muy eficaz. Por eso son primeros en la prueba PISA donde se mide ese tipo de pensamiento. Eso es muy valioso y por supuesto nos gustaría tenerlo en Chile, pero no es lo único deseable. De hecho en Finlandia aprenden pocos contenidos y por eso en la prueba TIMSS, que mide esos aspectos, no ocupa los primeros lugares. De hecho, los matemáticos y educadores de Finlandia y también los de Singapur (número 1 en TIMSS) son autocríticos y desearían avanzar más en la dirección de progreso del otro.

En la enseñanza de las matemáticas tienen un rol clave los textos que se usan. ¿Qué tal son los textos que se usan en Chile, según la investigación que han hecho?
LV: Han mejorado a lo largo de los años, sin duda. La única gran falencia que persiste es la falta de pensamiento deductivo, que implica sacar conclusiones y hacer demostraciones, etc.

¿Por qué hay problemas en esa área?
LV: Porque el pensamiento deductivo fue expulsado de las aulas durante mucho tiempo.
No es que no se enseñara, pero no era una exigencia y por eso no era evaluado en las diversas pruebas. Por lo mismo fue quedando rezagado y eso es lamentable porque la deducción ayuda a pensar, a sacar conclusiones. Ahora, la tendencia mundial es incluir el pensamiento deductivo desde primero básico y en los próximos textos escolares debiera ir apareciendo. El año pasado hubo un congreso mundial para discutir este tema, la principal organización mundial de matemáticas hizo su congreso en Taipei en torno al pensamiento deductivo. Este es un tema nuevo, por lo que no se puede esperar que se encuentre en los libros si recién está siendo reincorporado en el mundo para estos niveles.

En relación con la deducción, un reclamo recurrente de los adultos es que nunca les enseñaron a pensar matemáticamente, a razonar. Y es bastante extendida la idea de que los profesores no explican el por qué de las fórmulas sino que se aferran a la regla y al porque sí. ¿Se siguen faltando las explicaciones en los libros de matemáticas que analizaron?
Valentina Giaconi (VG): El análisis varía de año en año. Por ejemplo hay algo de indagación y de argumentación en los textos de séptimo, pero en los libros de octavo, desaparece. Lo bueno sí es que ahora, para explicar, se usan ejemplos con temas cercanos a los niños, y eso les permite ver que un problema de matemáticas es también un problema de la vida cotidiana.

LV: Vi un muy buen ejemplo de eso en un video grabado en una escuela norteamericana. Una profesora pedía a sus alumnos que demostraran que la suma de dos números impares siempre es un número par. Por ejemplo 3+5=8. Entonces los niños se pusieron a pensar y practicar, hasta que salió una niñita al pizarrón y expuso un argumento muy convincente. Dijo que un número impar es un número que va de parejitas pero que le sobra un número guachito ( 3= II, I ) y al otro número impar le pasa lo mismo (5= II, II, I ). Pero si junto esos impares, los guachitos quedan en pareja y quedan todos emparejados ( 8= II, II, II, II). Esa explicación es una muy buena justificación.

No parece que eso de explicar los resultados se incentivara mucho en las clases de matemáticas en Chile.
LV: Los buenos profesores saben que deben enseñarlo y cuando lo enseñan lo hacen y lo hacen bien. Nosotros los matemáticos, en cambio, a veces no nos explicamos las cosas y decimos que son así porque sí. Pero para los niños saber el por qué de las cosas es muy importante. Y cómo enseñarlo o darle a conocer a los niños el por qué de las cosas, es algo que los buenos profesores saben hacer.

Siempre hablamos de los malos profes, pero nunca de los que de verdad enseñan a pensar, con situaciones como la que menciona.
LV: Eso pasa porque a los buenos profesores no los estamos pesquisando. Te voy a dar un ejemplo: hay una pregunta en un texto de profesores que dice: "invente una historia contextualizada en la vida diaria, donde el resultado sea 1 3/4 dividido por 1/2". Argumentaban que el ejercicio era necesario porque ayudaba a los niños a saber lo que significaba dividir por 1/2. ¡Yo me quedé en blanco! ¿Qué significa dividir por 1/2? Yo respondería que dividir por un medio es multiplicar por el inverso multiplicativo. Y esa es una explicación de matemático, algebraica.

Que los niños no entenderían...
LV: Para nada. Pero la división tiene que significar algo, la división nació de problemas en la vida real que necesitaban de ella, por lo que tiene que significar algo más. ¿Qué significa dividir por una fracción? Para mí, ni idea, nunca he tenido que cuestionarme eso, pero un buen profe lo sabe y sabe como explicarlo. Primero empieza diciendo que dividir es repartir, entonces toman un ejemplo de la vida real para explicarlo y le dice a los niños "repartan en botellas de medio litro". Si tienes un litro tres cuarto en una botella de coca cola y lo repartes en botellas de medio litro ahí vas a tener el resultado de la división. Es genial, ningún matemático habría sabido cómo explicar eso.

Para explicarle las matemáticas a los niños entonces hay que darle sentido, aterrizarla en problemas de la vida diaria...
LV: Exacto. Tengo la impresión de que los primeros ciclos de educación básica, los profesores explican los por qué de los métodos, pero a medida que pasan los años y los cursos, la cosa va cambiando. Tengo la impresión de que en la enseñanza media, las cosas se empiezan a complicar y se olvida ejemplificar con demostraciones de la vida real, por lo que las matemáticas empiezan a costar más, los alumnos se preguntan menos y por ende las matemáticas se vuelven menos interesantes.

Yo hice un estudio con profesores de séptimo básico sobre el Teorema de Pitágoras y me tocaron profes de básica y profes de media. Se supone que el de media es mejor porque se especializó en matemáticas. Y efectivamente es más riguroso con el lenguaje, sabía más cosas que se pueden hacer con el teorema de Pitágoras, etc. pero el profe de básica hacía participar más a los niños, y al hacerlos participar surgen mucho más preguntas, los niños muestran más lo que están pensando.

¿Qué tan relevantes son, teniendo en cuenta que vivimos en la época de las guías, aulas virtuales, etc.?
VG: Hay una historiadora que dice que los libros son el medio para que los estudiantes aprendan lo que los gobiernos quieren que los niños aprendan. Entonces, si un gobierno pensó bien lo que es importante que aprendan los niños de su país, los libros son un buen medio para hacer que eso pase.


MATEMÁTICAS PARA PENSAR

Hablemos del razonamiento matemático. ¿Qué tan importante es para la vida cotidiana y que los niños aprendan a desarrollarlo?
LV: La matemáticas sirven para la vida. Si uno se pregunta por qué diablos toda la población tiene que estudiar esa cantidad de horas de matemáticas que están el curriculum escolar, es porque las matemáticas le van a servir para el resto de sus vidas. Si le preguntas a la gente qué es lo que recuerda de las clases de matemáticas, lo más probable es que se haya olvidado de casi todo. Entonces ¿por qué se estudian las matemáticas? Porque te enseñan a pensar, te ayudan a ordenar la cabeza frente a un problema, te dan estrategias para solucionar un problema, te enseñan a descartar soluciones. Esas cosas son las que deberían aportar las matemáticas...

Por ejemplo...
LV: A ver en matemáticas hay muchos pensamientos del orden deductivo, es decir “si ocurre esto, entonces ocurre lo otro”. El pensamiento deductivo permite sacar conclusiones con certeza. "Cada vez que se produce esto, yo estoy seguro que se puede concluir lo de allá sin mirarlo, solamente porque se produce este hecho". Y la gente que no sabe matemáticas o que no le enseñaron bien o que no le interesó se equivoca con ese tipo de deducciones y usan esas frases del "si - entonces", pero las dan vuelta y creen que siguen siendo verdaderas. Los diarios están llenos de estas frases dadas vueltas y piensan que se sigue aplicando la conclusión, pero no es así. Veámoslos con el ejemplo de los pares que da la niñita norteamericana: "Si X e Y son impares entonces X + Y es par". Pero en los diarios y el común de las personas, leen esta afirmación y concluyen: "como X + Y es par, podemos concluir que siempre X e Y son impares". Y eso es falso.

Por supuesto, porque no necesariamente son impares.
LV: Claro, pueden ser pares también. Entonces el común de la población da vuelta la implicancia. Es un tipo de error muy común. Las matemáticas te entrenan para que ese tipo de errores no ocurran, te ayudan a pensar, a cuestionar.

¿Hemos ido mejorando en la educación de matemáticas?
LV: Desde el 90 en adelante se ha hecho un esfuerzo sostenido en Chile por hacer una mayor inversión en educación. Pero los resultados son pobres para la inversión hecha. En la prueba Pisa, por ejemplo, se registran importantes progresos en lenguaje y en ciencias, pero no en matemáticas. En matemáticas tenemos un problema más grande de lo que se da en otras asignaturas.

¿Por qué matemáticas se queda atrás?
LV: Se hizo un estudio internacional de los profesores de básica y de básica con mención en matemáticas y Chile en básica es el segundo país más malo del mundo y en matemáticas con mención es el más malo del mundo. Sólo le ganamos a Georgia, que en el tiempo del estudio estaba en guerra civil… O sea la preparación de los profesores en Chile para los cursos como séptimo y octavo es muy mala.

Y de quién es la culpa. ¿De las pedagogías, de las universidades, de cómo están hechas las mallas curriculares?
LV: Sí, la carrera de pedagogía básica tiene un montón de problemas y uno es que se expande sin ningún control. Las universidades que la imparten surgen como callampas, están por todas partes. Cualquiera da pedagogía básica, y muchas veces lo hacen en condiciones precarias. Por otra parte, los alumnos que van allí muchas veces entran con bajos puntajes en la PSU, otros ni siquiera dieron la prueba. Además que las mallas son pobres. Piensa que esos son profesores que tienen que saber de todo para ocho años de escolaridad. En general la pedagogía es el pariente pobre del sistema.

¿Qué le parecen las medidas que ha implementado este gobierno, por ejemplo la beca total a los alumnos con puntajes sobre los 600 que quieran estudiar pedagogía?
LV: Es súper importante tener buenos alumnos, pero no basta con eso. Tienes que tener buenas carreras. Porque un buen alumno en una carrera mala no va a producir ningún beneficio. Me parece, sí, que se están tomando medidas que deberían producir beneficios, pero también debieran mejorar los sueldos a los profesores de básica, entre varias otras cosas que se debieran empezar a evaluar y hacer. Yo creo que se está abordando el problema, pero el problema es grande.

ENSAYO Y ERROR

¿Qué pueden hacer los papás para reforzar en la casa las matemáticas de manera didáctica?LV: Yo creo que los niños en la casa y en la calle piensan mucho más en matemáticas de lo que piensan en la clase. Te voy a dar un ejemplo terrible en los cursos de Pitágoras que filmé. Todos los profesores para motivar el teorema de Pitágoras partían con un problema contextualizado en el que se les pedía a los niños que en una plaza rectangular trazaran una diagonal. Luego se les decía: a ver niños, si un lado del rectángulo mide 4 metros y el otro mide 3 metros, ¿Cuántos metros mide la diagonal? Y los niños a coro dicen 7 o 12 porque ven dos números y o los suman o los multiplican. Ahora, si tú dices 7 estás diciendo que esa diagonal es igual de larga que dar vuelta la esquina. Y todos sabemos que no, que para ir de una esquina a la otra de un rectángulo es más corto la diagonal que ir por los lados, entonces la diagonal tiene que medir menos que 7 metros Y eso lo sabe cualquiera de los niños a esa edad, que es más corto irse por ahí. Sin embargo en la clase de matemáticas, que es un lugar para pensar, dicen esa barbaridad. En la casa y en la calle se piensa más que en el colegio.

¿Cómo se corrige eso?
LV: Hay que pedirles que argumenten sus resultados, que reflexionen sobre lo que hacen: ¿por qué hiciste eso? y que ellos expliquen sus decisiones

VG: Y aprender de los errores. No decir que está mal, sino que preguntarles ¿estás seguro?, ¿por qué estás seguro? Lo mejor es preguntar mucho y siempre el por qué. Los errores son una tremenda oportunidad de aprendizaje. Quizás un consejo sería que los papás ayudaran a sus hijos a no sentir vergüenza de equivocarse.

LV: Los juegos de estrategias promueven mucho eso, la toma de decisiones, las deducciones. Si hago esto me va pasar esto, entonces mejor me voy por este lado.

A medida que van creciendo, los niños se van aburriendo de que a cada momento se les pregunte por qué ¿cómo seguir haciéndolo, cómo seguir reforzando que piensen, que razonen, que argumenten?
LV: Me parece que, a medida que van creciendo, empiezan a sentir vergüenza de preguntar porque tienen miedo de que la pregunta pueda sonar ridícula y todos se rían. O de contestar algo porque tienen vergüenza de equivocarse. Hay que ayudar a los niños a acabar con esos sentimientos. Y eso se hace preguntándoles siempre, dándoles espacio a los errores.

VG: No enojándose si se equivocan; y equivocándose uno también. Se aprende más de los errores que de los aciertos. Y darle importancia a la explicación: por ejemplo, por qué cuando se multiplica por dos números hay que correrse un espacio. Puede que el papá no lo sepa, por eso tienen que darse el trabajo de averiguar. Hay que averiguar cómo argumentar las respuestas, no sólo decir ‘esto está malo’. Los papás que quieren explicar, tienen que buscar el por qué de las cosas.

Que los papás vuelvan al colegio con sus hijos...
LV: Sí, ese es un súper buen mensaje. La matemática elemental, no es un matemática trivial, es una matemática súper profunda y vale la pena preguntarse los por qué. Y que las respuestas no siempre son evidentes. Hay un libro precioso de un matemático israelí que se llama "Aritmética Para Padres" (Juegos de Mate publicó un extracto de un capítulo. Para leerlo haga clic aquí). Durante un tiempo hizo clases en primero básico en una escuela y después escribió el libro. Y en el libro dice que lo que más aprendió fue Matemáticas. En las Matemáticas de primero básico están las ideas fundamentales y él dice que estaba atónito porque esas Matemáticas las había visto como algo homogéneo, monótono, como una tela que de lejos se ve uniforme pero por fin estaba viendo los finos hilos de ideas. La idea de números, qué significa sumar, qué significa restar. Allí se plantea que un buen profesor debe conocer esos finos hilos de ideas y el orden en que se traman las ideas.

Hay que tenerle respeto a esa Matemática...
LV: Mal que mal es la que nos acompaña toda la vida...